| # | Свойство | Пример |
|---|---|---|
| 1 | \begin{align} & x^1=x\\ \end{align} |
\begin{align} & 7^1=7\\ \end{align} |
| 2 | \begin{align} & x^0=1\\ \end{align} |
\begin{align} & 7^0=1\\ \end{align} |
| 3 | \begin{align} & x^{-1}=\frac{1}{x}\\ \end{align} |
\begin{align} & 5^{-1}=\frac{1}{5}\\ \end{align} |
| 4 | \begin{align} & x^m x^n=x^{m+n}\\ \end{align} |
\begin{align} & x^2 x^3 = x^{2+3} = x^5\\ \end{align} |
| 5 | \begin{align} & \frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}\\ \end{align} |
\begin{align} & \frac{x^8}{x^2}=x^{8-2}=x^6\\ \end{align} |
| 6 | \begin{align} & (x^m)^n=x^{mn}\\ \end{align} |
\begin{align} & (x^2)^3=x^{2*3}=x^6\\ \end{align} |
| 7 | \begin{align} & (xy)^n=x^n y^n\\ \end{align} |
\begin{align} & (xy)^3=x^3 y^3\\ \end{align} |
| 8 | \begin{align} & \left ( \frac{x}{y} \right )^n=\frac{x^n}{y^n}\\ \end{align} |
\begin{align} & \left ( \frac{x}{y} \right )^4=\frac{x^4}{y^4}\\ \end{align} |
| 9 | \begin{align} & x^{-n}=\frac{1}{x^n}\\ \end{align} |
\begin{align} & x^{-5}=\frac{1}{x^5}\\ \end{align} |
| 10 | \begin{align} & x^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{x^m}=\left ( \sqrt[n]{x} \right )^m\\ \end{align} |
\begin{align} & x^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{x^2}=\left ( \sqrt[3]{x} \right )^2\\ \end{align} |
В таблице представлены основные формулы преобразования логарифмов.
\begin{align} & 1-3.\ x^1=x,\ x^0=1,\ x^{-1}=\frac{1}{x}\ \end{align}
Рассмотрим первые 3 свойства на примере числа 5.
| Пример | ||
|---|---|---|
\begin{align} & 5^2\\ \end{align} |
\begin{align} & 1×5×5\\ \end{align} |
\begin{align} & 25\\ \end{align} |
\begin{align} & 5^1\\ \end{align} |
\begin{align} & 1×5\\ \end{align} |
\begin{align} & 5\\ \end{align} |
\begin{align} & 5^0\\ \end{align} |
\begin{align} & 1\\ \end{align} |
\begin{align} & 1\\ \end{align} |
\begin{align} & 5^{-1}\\ \end{align} |
\begin{align} & 1÷5\\ \end{align} |
\begin{align} & \frac{1}{5}\\ \end{align} |
\begin{align} & 5^{-2}\\ \end{align} |
\begin{align} & 1÷5÷5\\ \end{align} |
\begin{align} & \frac{1}{25}\\ \end{align} |
\begin{align} & 4.\ x^m x^n=x^{m+n}\ \end{align}
xmxn сколько раз мы должны умножить x? Ответ: вначале m-раз, потом n-раз, итого m+n раз
\begin{align} & x^2 x^3=(xx)(xxx)=xxxxx=x^5\ \end{align}
\begin{align} & 5.\ \frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}\ \end{align}
xm/xn сколько раз мы должны умножить x? Ответ: вначале m-раз умножить, затем n-раз поделить, итого m-n раз умножить
\begin{align} & \frac{x^5}{x^2}=\frac{xxxxx}{xx}=xxx=x^3\ \end{align}
\begin{align} & 6.\ (x^m)^n=x^{mn}\ \end{align}
xmxn сколько раз мы должны умножить x? Ответ: вначале m-раз, потом полученный результат n-раз, итого m×n раз
\begin{align} & (x^3)^4=(xxx)^4=(xxx)(xxx)(xxx)(xxx)=xxxxxxxxxxxx=x^12\ \end{align}
\begin{align} & 7.\ (xy)^n=x^n y^n\ \end{align}
Рассмотрим свойство на примере:
\begin{align} & (xy)^3=(xy)(xy)(xy)=xyxyxy=xxxyyy=(xxx)(yyy)=x^3 y^3\ \end{align}
\begin{align} & 8.\ \left ( \frac{x}{y} \right )^n=\frac{x^n}{y^n}\ \end{align}
Рассмотрим свойство на примере:
\begin{align} & \left ( \frac{x}{y} \right )^3=\left ( \frac{x}{y} \right )\left ( \frac{x}{y} \right )\left ( \frac{x}{y} \right )=\frac{(xxx)}{(yyy)}=\frac{x^3}{y^3}\ \end{align}